Recuerdo que cuando era un niño sin pista alguna de la vida, de vez en cuando tenía confrontamientos con mi hermana en la que uno decía: "Yo tengo un X", el otro contestaba: "Pues yo tengo 2", y el otro contestaba: "pues yo tengo 3", hasta que eventualmente uno decía: "Pues yo tengo infinitos" y la pelea más o menos terminaba porque nadie sabía como superar eso (entendíamos que infinito más uno no era mejor que infinito).
Como experencia personal en mi desarrollo académico como matemático considero un punto relevante el punto en el que uno consigue entender que dos cosas infinitas no necesariamente tienen el mismo "tamaño". Cuando les comento esto a mis amigos que no son matemáticos su primera reacción es de sorpresa, después de todo ¿Infinito es infinito o no? ¿Cómo es que existen infinitos más grandes que otros? Por ello he decidido compartir una demostración de que existen más números reales que números naturales y voy a intentar hacerlo de manera amena y procurando no causar muchos dolores de cabeza.
Conjuntos
Como siempre en matemáticas primero tendremos que definir algunas cosas, como este post es de divulgación haré definiciones poco rigurosas. Primero, el conjunto de números naturales son aquellos que se utilizan para contar \((1, 2, 3, 4, \ldots)\) i.e. los números no negativos sin partes fraccionarias. El conjunto de números reales son "todos los números" o los que se utilizan para medir distancias \((1, 5, 3.9, π, \ldots)\).
Tamaños
Ahora que tenemos dos conjuntos, queremos ver cuál de ellos es más grande. Pero, ¿qué significa esto matemáticamente? No es como que pongamos a los conjuntos junto al refrigerador y veamos cual llega más alto. Los matemáticos utilizamos una idea de tamaño parecida a la que usaría un coréografo o director de baile, si tienes un montón de hombres y mujeres y cuando formas parejas te sobran hombres, entonces tienes más hombres que mujeres, si te sobran mujeres entonces tienes más mujeres que hombres, si nadie sobra, entonces hay tantas mujeres como hombres (los matemáticos a esta idea le llamamos correspondencia biyectiva).
Cuando los conjuntos infinitos entran al juego, las reglas cambian un poco. Imaginen que tenemos dos copias del conjunto de números naturales, llamémosle \(P\) y \(S\) (de primero y segundo), para hacer el ejemplo más legible al número \(1\) que vive en \(P\) le llamaremos \(1_P\), al número \(2\) le llamaremos \(2_P\), al 2 le llamaremos \(3_P\) y así sucesivamente. De manera equivalente los elementos de \(S\) serán representados como \(1_S\), \(2_S\), \(3_S\), etc.
Hagamos la siguiente asignación de \(P\) a \(S\):
a \(1_P\) le asignamos \(2_S\),
a \(2_P\) le asignamos \(3_S\),
a \(3_P\) le asignamos \(4_S\),
...
a \(nP\) le asignamos \((n+1)_S\).
De esta manera a todos los elementos de \(P\) les asignamos a alguien de \(S\), pero no a todos los elementos de \(S\) les fue asignado un elemento de \(P\) pues el \(1_S\) se quedó sin pareja. Esto no significa que \(S\) sea más grande que \(P\), recuerden que después de todo ambos son copias del conjunto de los números naturales y por lo tanto tienen exáctamente los mismos elementos. Si aceptaramos esto como demostracíon de que \(S\) es más grande que \(P\) entonces bien podríamons invertir el papel de \(S\) y \(P\) en la asignación y de la misma manera podríamos decir que \(P\) es más grande, lo cual intuitivamente es una contradicción. ¿Qué está pasando? Lo que es distinto en los conjuntos finitos es que si les quitas un elemento su tamaño es distinto, los conjuntos infinitos contienen subconjuntos que también son infinitos. Por ejemplo, en el caso del conjunto de los números naturales, si le quitas un elemento sigue siendo infinito, si le quitas la mitad de sus elementos, sigue siendo infinito, si de cada millón de elementos le quitas \(999999\), sigue siendo infinito. Por esta razón la asignación del ejemplo no es suficiente para probar que un conjunto es más grande que el otro, pero sí es suficiente para probar que \(P\) no es más grande que \(S\), pues usando todos los elementos de \(P\) no pudimos cubrir a todos los de \(S\). También es cierto que \(S\) no es más grande que \(P\) (basta invertir los papeles de \(P\) y \(S\) en la asignación para tener una demostración de ello). Si \(P\) no es más grande que \(S\) y \(S\) no es más grande que \(P\), la intuición nos dice que entonces deben ser del mismo tamaño (aunque ya lo sabíamos pues \(P\) y \(S\) eran copias del mismo conjunto), pero rigurosamente hablando, no podemos decir que son del mismo tamaño a menos que tengamos una correspondencia biyectiva y el teorema de Schröder-Bernstein nos dice que esto es suficiente.
Todo esto es para convencerlos de que un conjunto infinito puede tener un subcojunto que es tan grande como él. Y no solo eso, un conjunto infinito puede partirse en muchos conjuntos infinitos de tal manera que cada uno de ellos sea tan grande como el conjunto mismo. Por ejemplo, veamos que existen tantos números naturales impares como números naturales pares, para esto pensemos en la asignación que a cada número par \(2_n\) le asigna el número impar \(2n+1\). Esto es una correspondencia biyectiva, a cada número par le asignamos un número impar y cada número impar fue asignado a alǵun número par (o en otras palabras, a cada quien le tocó exáctamente una pareja), y por lo tanto hay tantos números naturales pares como impares. Ahora, veamos que existen tantos números naturales pares como números naturales. Para esto sólo pensemos en la asignación que a cada número natural \(n\) le asigna el número par \(2n\). Esto es otra correspondencia biyectiva y por lo tanto hay tantos naturales como números naturales pares. Pero también teníamos que hay tantos números naturales impares como números naturales pares, por lo tanto también hay tantos números naturales impares como números naturales. Ahora, si juntamos los números naturales pares con los números naturales impares, lo que tenemos es el conjunto de números naturales, entonces, el conjunto de números naturales se puede partir en dos conjuntos que son tan grandes como él mismo. Y esto no lo es todo, con argumentos similares podríamos partirlo en cualquier cantidad de conjuntos de tal manera que cada uno sea tan grande como los naturales, incluso lo podríamos partir en una infinidad de conjuntos de tal manera que cada uno sea tan grande como los naturales (véase la siguiente imagen)
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| En cada nivel horizontal hay tantos números como números naturales. |
De manera parecida les pediré que me crean que en los números reales hay tantos números entre el 0 y el 1 como en el conjunto de todos los reales (Para los escépticos, vean que la función tangente toma todos los valores reales cuando la evalúan en \((-π/2, π/2)\), definan una relación con esta función, y luego vean que hay tantos números reales en \((0, 1)\) como en \((-π/2, π/2)\).
No hay tantos números naturales como números reales en (0, 1)
Por un momento supongamos que esto no es cierto. Es decir, que existe una correspondencia biyectiva entre los números naturales y los números reales entre el 0 y el 1. Eso quiere decir el natural 1 tiene asignado un número real \(r_1\) y supongamos que dicho número se ve así:
$$r_1 = 0.d_1^1d_2^1d_3^1d_4^1d_5^1d_6^1d_7^1d_8^1\ldots$$
donde \(d_n^1\) es el enésimo dígito. Muchos de estos dígitos pueden ser ceros si es que la expanción decimal del número es finita (i. e. es lo mismo 0.2 que 0.2000000000\ldots).
De manera similar, al número natural 2 tiene asignado otro número real y supongamos que dicho número se ve así:
$$r_2 = 0.d_1^2d_2^2d_3^2d_4^2d_5^2d_6^2d_7^2d_8^2\ldots$$
(noten que los superíndices ahora son 2 en vez de 1). Generalizando, el número natural \(n\) va a tener un real asignado que se va a ver como:
$$r_n = 0.d_1^nd_2^nd_3^nd_4^nd_5^nd_6^nd_7^nd_8^n\ldots$$
Ahora, construyamos un número real \(r = 0.d_1d_2d_3d_4d_5d_6d_7d_8\ldots\) de la manera siguiente:
- \(d_1\), el primer dígito de \(r\) va a ser cualquier dígito que sea distinto de 9 y que sea distinto de \(d_1^1\) (el primer dígito de \(r_1\).
- \(d_2\), su segundo dígito, va a ser cualquier dígito que sea distinto de 9 y que sea distinto de \(d_2^2\) (el segundo dígito de \(r_2\)).
- \(d_3\), su tercer dígito, va a ser cualquier dígito que sea distinto de 9 y que sea distinto de \(d_3^3\) (el tercer dígito de \(r_3\)).
- \(\ldots\)
- \(d_n\), su \(n\)-ésimo dígito, va a ser distinto de 9 y distinto de \(d_n^n\) (el \(n\)-ésimo dígito de \(r_n\)).
- \(\ldots\)
Esto siempre se puede hacer, siempre tendremons al menos 8 dígitos de donde elegir. (Los nueves no nos gustan, pero no les voy a decir por qué en este post)
Veamos que \(r\) se quedó sin pareja en la asignación:
- \(r\) no puede estar asignado al número 1, pues su primer dígito es distinto que el del número que se le asignó al 1.
- Tampoco puede estar asignado al número 2, pues su segundo dígito es distinto que el segundo dígito del número que se le asignó al 2.
- Tampoco puede ser el tercer, pues su tercer dígito es distinto que el tercer dígito del número que se le asignó al 3.
- \(\ldots\)
- Tampoco puede estar asignado al número \(n\), pues su \(n\)-ésimo dígito es distinto del enésimo dígito del número que se le asignó a \(n\).
- \(\ldots\)
En otras palabras, a ningún número natural se le asignó \(n\), pero esto no es posible si la asignación era biyectiva, contradiciendo que existe una asignación biyectiva entre el conjunto de los números naturales y los números reales entre 0 y 1.
Con esto terminamos, tanto los números reales como los números naturales son infinitos. Pero el infinito de los números reales es más "grande" que el de los números naturales. Y no sólo eso, el infinito de los números reales no tiene por que ser el más grande, dado cualquier infinito, siempre podemos construir un conjunto que sea más grande (pero eso es material para otro post). Si mi hermana y yo hubieramos entendido que sí existe manera de superar "infinito" cuando éramos niños posiblemente seguiríamos peleando.
