sábado, octubre 23, 2010

Columpio de Heidi I

Hace algunos meses, en un foro de física, me encontré una discusión sobre cuanto tendría que medir el columpio que aparece en el intro de Heidi, para que tardara tanto tiempo oscilando (un poco más de 9 segundos).

En este post les diré como tuvieron que haber llegado a ese resultado sin tener que usar el vil formulazo que se aventaron. Comenzamos construyendo el Lagrangiano (asumiendo que el lazo del columpio nunca cambia de longitud):

La ecuación de movimiento correspondiente:


 >.<
En el caso en que el ángulo máximo sea pequeño (que es el caso del formulazo), podemos aproximar de la siguiente manera:
La solución general a esa ecuación diferencial es:

Por simplicidad, consideremos que cuando empezamos a contar el tiempo, el columpio se encontraba perpendicular a la superficie, esto es, theta(0) = 0. Esto último implica que A=0. Queremos que para un tiempo t', el columpio vuelva a la posición que tenía cuando empezamos a contar el tiempo:

Como sabemos que el columpio se esta moviendo, B no puede ser cero, por tanto para que se cumpla * :

Por definición, el periodo de tiempo t' en que se da una vuelta, corresponde al periodo T. Como dijimos que en t=0, theta(t)=0, una vuelta es cuando el péndulo haya pasado dos veces por ese punto (sube y regresa, sube al otro y regresa). De esta manera:




Reemplazando los numeritos, nos da más o menos 20.5 m . Nótese que este resultado sólo es fiable para ángulos pequeños, en otro caso el problema se vuelve más difícil, lo dejaré para el siguiente post.