domingo, diciembre 27, 2009

¿Cuánto vale un kopek?

Recién re-encontré un libro, Matemática Recreativa, de Yakov I. Perelman, al que le puedo atribuir parte de la culpa de haberme empeñado en dedicarme a esto de las ciencias físico-matématicas...
En el comedor de una pensión, se inició durante la comida una conversación sobre el modo de calcular la probabilidad de los hechos. Un joven matemático, que se hallaba entre los presentes, sacó una moneda y dijo:
-Si arrojo la moneda sobre la mesa, ¿qué probabilidades existen de que caiga con el escudo hacia arriba?
-Ante todo, haga el favor de explicar lo que quiere usted decir con eso de las probabilidades -dijo una voz-. No está claro para todos.
-¡Muy sencillo! La moneda puede caer sobre la mesa de dos maneras, o bien con el escudo hacia arriba o hacia abajo. El número de casos posibles es igual a dos, de los cuales, para el hecho que nos interesa, es favorable sólo uno de ellos. De lo dicho se deduce la siguiente relación:
el número de casos favorables / el número de casos posibles =1/2

La fracción 1/2 expresa la probabilidad de que la moneda caiga con el escudo hacia arriba.
-Con la moneda es muy sencillo -añadió uno-. Veamos un caso más complicado, por ejemplo, con los dados.
-Bueno, vamos a examinarlo -aceptó el matemático-. Tenemos un dado, o sea, un cubo con distintas cifras en las caras. ¿Qué probabilidades hay de que al echar el dado sobre la mesa, quede con una cifra determinada hacia arriba, por ejemplo, el seis? ¿Cuántos son aquí los casos posibles?
El dado puede quedar acostado sobre una cualquiera de las seis caras, lo que significa que son seis casos diferentes. De ellos solamente uno es favorable para nuestro propósito, o sea, cuando queda arriba el seis. Por consiguiente, la probabilidad se obtiene dividiendo uno por seis, es decir, se expresa con la fracción 1/6.
-¿Será posible que puedan determinarse las probabilidades en todos los casos? -preguntó una de las personas presentes-.
Tomemos el siguiente ejemplo. Yo digo que el primer transeúnte que va a pasar por delante del balcón del comedor, será un hombre. ¿Qué probabilidades hay de que acierte?
-Evidentemente, la probabilidad es igual a 1/2, si convenimos en que en el mundo hay tantos hombres como mujeres y si todos los niños de más de un año los consideramos mayores.
-¿Qué probabilidades existen de que los dos primeros transeúntes sean ambos hombres? -preguntó otro de los contertulios.
-Este cálculo es algo más complicado. Enumeremos los casos que pueden presentarse. Primero: es posible que los dos transeúntes sean hombres. Segundo: que primero aparezca un hombre y después una mujer. Tercero: que primero aparezca una mujer y después un hombre. Y finalmente, el cuarto caso: que ambos transeúntes sean mujeres. Por consiguiente, el número de casos posibles es igual a 4; de ellos sólo uno, el primero, nos es favorable. La probabilidad vendrá expresada por la fracción 1/4. He aquí resuelto su problema.
-Comprendido. Pero puede hacerse también la pregunta respecto de tres hombres. ¿Cuáles serán las probabilidades de que los tres primeros transeúntes sean todos hombres?
-Bien, calculemos también este caso. Comencemos por hallar los casos posibles. Para dos transeúntes, el número de casos posibles, como ya sabemos, es igual a cuatro. Al aumentar un tercer transeúnte, el número de casos posibles se duplica, puesto que a cada grupo de los 4 enumerados compuesto de dos transeúntes, puede añadirse, bien un hombre, bien una mujer. En total, el número de casos posibles será 4 x 2 = 8. Evidentemente la probabilidad será igual a 1/8, porque tenemos sólo un caso favorable. De lo dicho dedúcese la -regla para efectuar el cálculo: en el caso de dos transeúntes, la probabilidad será 1/2 * 1/2 = 1/4; cuando se trata de tres 1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/8; en el caso de cuatro, las probabilidades se obtendrán multiplicando cuatro veces consecutivas 1/2 y así sucesivamente. Como vemos, la magnitud de la -probabilidad vadisminuyendo.
-¿Cuál será su valor, por ejemplo, para diez transeúntes?
-Seguramente, se refiere usted al caso de que los diez primeros transeúntes sean todos hombres. Tomando 1/2 como factor diez veces, obtendremos 1/1024 , o sea, menos de una milésima. Esto significa que si apuesta usted conmigo un duro a que eso ocurrirá, yo puedo jugar mil duros a que no sucederá así.
-¡Qué apuesta más ventajosa! -dijo uno-. De buen grado pondría yo un duro para tener la posibilidad de ganar mil.
-Pero tenga en cuenta que son mil probabilidades contra una. -¡Y qué! Arriesgaría con gusto un duro contra mil, incluso en el caso de que se exigiera que los cien primeros transeúntes fueran todos hombres.
-¿Pero se da usted cuenta de qué probabilidad tan ínfima existe de que suceda así? -preguntó el matemático.
-Seguramente una millonésima o algo así por el estilo.
-¡Muchísimo menos! Una millonésima resulta ya cuando se trata de veinte transeúntes. Para cien será... Permítame que lo calcule aproximadamente. Una billonésima, trillonésima, cuatrillonésima...
¡Oh! Un uno con treinta ceros.
-¿Nada más?
-¿Le parecen a usted pocos ceros? Las gotas de agua que contiene el océano no llegan ni a la milésima parte de dicho número. -¡Qué cifra tan imponente! En ese caso, ¿cuánto apostaría usted contra mi duro?
-¡Ja, ja... ! ¡Todo! Todo lo que tengo.
-Eso es demasiado. Juéguese su moto. Estoy seguro de que no la apuesta.
-¿Por qué no? ¡Con mucho gusto! Venga, la moto si usted quiere. No arriesgo nada en la apuesta.
-Yo sí que no expongo nada; al fin y al cabo, un duro no es una gran suma, y sin embargo, tengo la posibilidad de ganar una moto, mientras que usted casi no puede ganar nada.
-Pero comprenda usted que es completamente seguro que va a perder. La motocicleta no será nunca suya, mientras que el duro, puede decirse que ya lo tengo en el bolsillo.
-¿Qué hace usted? -dijo al matemático uno de sus amigos, tratando de contenerle. Por un duro arriesga usted su moto. ¡Está usted loco!
-Al contrario -contestó el joven matemático-, la locura es apostar aunque sea un solo duro, en semejantes condiciones. Es seguro que gano. Es lo mismo que tirar el duro.
-De todos modos existe una probabilidad.
-¡Una gota de agua en el océano, mejor dicho, en diez océanos! Esa es la probabilidad: diez océanos de mi parte contra una gota. Que gano la apuesta es tan seguro como dos y dos son cuatro.
No se entusiasme usted tanto, querido joven -sonó la voz tranquila de un anciano, que durante todo el tiempo había escuchado en silencio la disputa-. No se entusiasme.
-¿Cómo, profesor, también usted razona así ... ?
-¿Ha pensado usted que en este asunto no todos los casos tienen las mismas probabilidades? El cálculo de probabilidades se cumple concretamente sólo en los casos de idéntica posibilidad, ¿no es verdad? En el ejemplo que examinamos..., sin ir más lejos -dijo el anciano prestando oído-, la propia realidad me parece que viene ahora mismo a demostrar su equivocación. ¿No oyen ustedes?
Parece que suena una marcha militar, ¿verdad?
-¿Qué tiene que ver esa música ... ? -comenzó a decir el joven matemático, quedándose cortado depronto. Su rostro se contrajo de susto. Saltó del asiento, corrió hacia la ventana y asomó la cabeza. -
Así es! -exclamó con desaliento-. He perdido la apuesta. ¡Adiós mi moto!
Al cabo de un minuto quedó todo claro. Frente a la ventana pasó desfilando un batallón de soldados.